האם צריך ללכת במוצאי שבת קודש בבגדי שבת? ובנוסף מה המקור לכך שבמוצאי שבת לא מתעסקים עם כסף?

בנוגע לשאלתך נשיב ראשונה על העניין הראשון ששאלת – האם צריך ללכת במוצאי שבת עם בגדי השבת ולשם כך עלינו להקדים את דברי רבינו הזקן בעניין לבישת בגדי שבת בשבת:
דהנה כתב אדה"ז (שוע"ר רס"ב ג): "חייב כל אדם להשתדל שיהיו לו בגדים נאים לשבת כפי יכולתו שצריך לכבד השבת בכסות נקיה.. ובדברי קבלה נאמר 'וכבדתו מעשות דרכיך' ודרשו חכמים 'וכבדתו' – 'שלא יהא מלבושך של שבת כמלבושך של חול' שיחליפנו באחר (שהוא נאה ממנו) שהמלבוש נקרא כבוד שהוא מכבד את האדם כשבא למקום שאין מכירים אותו ורואים אותו לבוש בגדי חמודות אזי הם מכבדים אותו".
ומסיים רבינו הזקן בדברי האגודה (המובא במגן אברהם) "וטוב לילך בקצת בגדי שבת כל היום עד אחר הבדלה במוצאי שבת".
הנה מדברי רבינו הזקן חזינן שטוב להיות עם בגדי השבת עד לאחר ברכת ההבדלה אבל לאחר מכן אין עניין להיות לבוש בבגדי שבת ואפשר ללבוש במקומם בגדי חול.
וכך גם נהגו (חלק מ)רבותינו נשיאנו כמובא בספר השיחות תש"ד (עמ' 95) שכאשר כ"ק אדמו"ר מוהר"ש הי' מחליף מבגדי חול לשבת וכן מבגדי שבת לחול היה מנגן נגון (עיי"ש פרטי העניין). מכך משמע שהי' נוהג להחליף במוצאי שבת מבגדי שבת לחול.
וכן הי' מנהג הרבי הרש"ב והשתדלותו בזה הי' עד כדי כך שהי' ממהר במוצאי שבת להחליף מלבושיו למלבושי חול וכן מובא משמו של הרב יעקב לנדא ע"ה שהרבי הרש"ב הקפיד שלא יהי' עליו בגדי שבת בחול (ראה אוצר מנהגי חב"ד אלול – תשרי ע' כב 'קיצור הלכות משולחן ערוך רבינו הזקן' מלואים לסי' רס"ב).
לעומ"ז מצינו שמנהג כ"ק אדמו"ר מוהריי"צ הי' להישאר עם בגדי השבת גם במוצאי שבת ולא להחליפם לבגדי חול כפי שמסופר (מפי הרי"ל גרונר ששמע מר' שמואל לוויטין ראה 'קיצור הלכות משולחן ערוך אדה"ז' שם בהערה) שאביו כ"ק אדמו"ר הרש"ב הורה לו שצריך הוא להישאר עם בגדי השבת במוצאי שבת באומרו "מכיוון שאתה צאצא לבית טשערנאביל ששם המנהג לא להחליף לבגדי חול במוצאי שבת צריך גם אתה לנהוג כך".
ואכן גם מנהג הרבי היה כך שלא להחליף את הבגדים במוצאי שבת לבגדי חול ואף גם לאחר חצות הלילה (מעשה מלך ע' 154) ואף העיר פעם ליהודי שהחליף במוצאי שבת את ה'שטריימל' שלו לכובע של חול: "במוצאי שבת צריכים ללבוש את בגדי השבת". (ראה בכל הנ"ל בהרחבה בספר 'חקרי מנהגים' ח"ב ע' רמז ואילך).
ומשום כך אכן יש לנהוג שלא להחליף במוצאי שבת את בגדי השבת לבגדי חול.

ובנוגע לפרט השני שבשאלתך – התעסקות עם ממון במוצאי שבת קודש:
הנה באחת מההתוועדויות סיפר הרבי (תורת מנחם חכ"א ע' 272): "כ"ק מו"ח אדמו"ר סיפר שאביו כ"ק אדמו"ר נ"ע (הרש"ב) לא הי' נותן מעות במוצאי שבת להוצאת הבית. בערב שבת הי' אומר להרבנית (שטערנא שרה) – אם זקוקה את למעות במוצאי שבת טלי עכשיו כי במוצאי שבת לא אתן".
והוסיף הרבי שיש מקור להנהגה זו מרבי יהודה החסיד. ובתורת מנחם שם בהערה ציינו לספר חסידים סקכ"א שם נכתב: "שנו חכמים העושה מלאכה בערבי שבתות ובערבי י"ט ובמוצאי שבתות ובמוצאי י"ט ובחנוכה ופורים ובראש חודש ובכל מקום שיש נידנוד עבירה להביא תענית צבור – אינם רואים סימן ברכה לעולם".
(ובדבר החשש לאיסור 'לא תעוננו' – לשון עונות ושעות כלומר שאסור לומר שעה פלוני יפה ושעה פלונית איננה משום דרכי האמורי. ואם כן לכאורה איך אפשר לומר שמוצאי שבת אינו זמן מתאים להתעסקות עם מעות – ראה תורת מנחם שם וראה גם שיחות קודש תשל"ט ח"א ש"פ וילך ס"מ).
וכך גם כותב הרבי באגרות קודש (חכ"ז ע' מא) "מנהגנו להשתמט ולא לתת ממון במוצש"ק".
אלא שבנוגע לשימוש במעות עבור נתינת צדקה אמר הרבי (התוועדויות תשמ"ה ח"ה ע' 3062) שאין זה בסתירה למנהג זה "כי הנהגה האמורה היא רק כשמדובר אודות הוצאות הבית משא"כ בנדו"ד ( – נתינת צדקה) שהווא ענין של קיום מצוה (ומצוה ששקולה כנגד כל המצוות) הרי אדרבה זוהי הדרך לגרש החיצונים כו'" (אלא שיש להעיר מהתוועדיות תשמ"ו ח"ב ע' 203 עיי"ש ואכ"מ).