כדי להבין את המענה לשאלתך, צריכים ללון בעומקה של הלכה, ולראות את מחלוקת ושיטות הראשונים והאחרונים בזה, שדנו, והעלו בזה מסקנה.
הנה ראשית כל, יש לעיין בדברי השולחן ערוך, שבעצם הדין של הדלקת הנר בבית הכנסת כותב כך (הלכות חנוכה סימן תרעא סעיף ז): מצוה להניחו בטפח הסמוך לפתח משמאל, כדי שתהא מזוזה מימין ונר חנוכה משמאל.. ובבה"כ מניחו בכותל דרום ( או בדרום המנורה, ומסדרן ממזרח למערב) (ת"ה סי' ק"ד ב"י), ומדליקין ומברכין (בבית הכנסת) משום פרסומי ניסא. הגה: ואין אדם יוצא בנרות של בהכ"נ, וצריך לחזור ולהדליק בביתו (ריב"ש סימן קי"א).
וביאר זאת המשנה ברורה, והדגיש את הדין הראוי היוצא לענין דינא בהדלקה בבית הכנסת. המשנה ברורה נעמד על דברי המחבר שכותב שמדליקין ומברכין, ומדגיש, שלמרות שהברכה בבית הכנסת היא רק מנהג, בכל זאת מברכין עליו, כמו שמברכין על הלל של ר"ח – שהוא גם מנהג, ועם כל זאת, מברכים עליו.
ולאחרי זה, מביא את הדין הראוי בנוגע לאבל - אם אבל מתפלל בערב חנוכה מדליק אדם אחר הנרות משום שהחיינו דמברכין אז ומינכר דעת שמחה היא לצבור ואין כדאי שאבל ידליקם [אבל בביתו יכול לברך שהחיינו] אבל שאר ערבית דחנוכה דאין מברכין שהחיינו יכול האבל להדליק נר חנוכה. ומתפלל האבל בחנוכה מנחה ומעריב. ובט"ו באב ושבט ול"ג בעומר דלית הלל האבל מתפלל שחרית ג"כ. ובחוה"מ דהוי כיו"ט מנעתי לפעמים להניח האבל להתפלל מנחה ומעריב [פמ"ג]:
הרי מצאנו, מדברי המשנה ברורה, שאין כדאי שהאבל ידליק את הנרות בבית הכנסת – בזמן שמברכין בו שהחיינו, כי אין כדאי לציבור שאבל יברך להם ברכה זו. וממנו משמע שכך הוא הדין.
והנה, עסקו בדין זה רבותינו באריכות, והעלו בזה דינים ברורים. אחד מהם הוא בספר תשובות והנהגות, שדן בכללות הדין של אבל, בדוגמאות ממצוות שונות.
בתחילה הוא דן בדין אבל שתוקע בראש השנה, ומזה הוא מגיע ומשתלשל לשאר הדינים דאבל.

ומבאר שם הדברים ע"פ המבואר בשולחן ערוך סימן תקנ"א (סעיף י"ז) שכתב שם שטוב ליזהר מלומר שהחיינו בין המצרים על פרי או על בגד חדש, ו
בביאור הגר"א על אתר, כתב שזהו חומרא יתירה, וע"ש במ"ב אף על גב דאפילו אבל מברך שהחיינו על פטירת אביו כשיש לו ירושה, מ"מ ימים אלו הזמן גופא מוכן ח"ו לפורענות ולכן אין כדאי לומר שהחיינו בזמן זה.
בהמשך הוא דן בדברי האחרונים, ומפלפל בהם, ומעלה מסקנא, מהי עיקר הקפידא בנוגע לברכת האבל - ונראה מלשונו שהקפידא היא בציבור דוקא, וכנראה שבשעת הברכה זהו זמן שמחה לציבור וע"כ כשאומר ברכת שהחיינו מראה ששותף לשמחה, ולהכי כיון שכשאפשר להדליק ע"י אחר מונעים האבל מלומר שהחיינו, אלא אחר ידליק ויברך, וצ"ב אם בזמננו המנהג כן בעת הברכות, אבל הפוסקים לא חלקו.
בתוך הדברים, הוא מחלק בין המקומות ובין הזמנים – שישנם זמנים, כמו ר"ה, שאז הוא לא שעה של שמחה, ובזמנים אלו, מפני אימת הדין נהגו לומר את הברכות בצורה של אימה ויראה, וממילא, במקרים כמו אלו – אין שום קפידא כלל שהאבל יאמר את השהחיינו.
ולאחרי הדיון בדברים מעלה הדין לגבי בעל תוקע, שאין ראוי שאבל יהיה בעל תקוע, אבל בזמן שאין אחר כמוהו ממש, יכול הוא לתקוע ולברך שהחיינו, ואין לחשוש כלל. כי התקיעות הם כתפילות לעורר רחמים, והאבל הוא השליח לזה.
אך אם ישנו מישהו אחר כמוהו שיכול הוא להיות השליח ציבור או התוקע, הנה מאחר שעל האבל הדין הוא מתוח בכל י"ב חודשי האבילות כדאי למונעו.
ובהמשך הדברים, דן הוא שם ומפלפל בדבר באריכות, בנוגע למנהג קהילות ישראל בזמן האחרון, וכיצד צריכים לנהוג להלכה למעשה, עיי"ש באריכות.
ולענין מעשה, בנידון שאלתך, הנהמכללות הפוסקים והאחרונים שדנו בזה, הנה הדין הוא שביום הראשון של חג החנוכה, האבל אינו יכול להדליק מפני שישנה ברכת שהחיינו הנאמרת בציבור, ואסור לאבל לברך זאת בתוך שנתו.
אלא, שעם כל זאת, אין זה פוטר אותו לגמרי מכל העניין של ברכת שהחיינו, והוא יכול לברך את ברכת שהחיינו בבית שלו הפרטי, כי בזה לא קיימים כל החששות של האבלות בפרהסיא ועוד.
אך, בשאר הימים של חג החנוכה, שאין ברכת שהחיינו בהדלקה, הנה אין שום מניעה שהאבל ידליק את הנרות.