סיימתי את תפילת שמונה עשרה (בעשרת ימי התשובה) ונזכרתי שלא אמרתי 'המלך המשפט' האם אני צריך לחזור ולהתפלל שוב?

בשביל לענות על שאלתך נקדים ונביא את דברי הראשונים שדנו בשאלה זו:
איתא בגמ' (ברכות יב ב): "אמר רבה בר חיננא סבא משמיה דרב - כל השנה כולה אדם מתפלל 'האל הקדוש' 'מלך אוהב צדקה ומשפט' חוץ מעשרה ימים שבין ראש השנה ויום הכפורים' שמתפלל המלך הקדוש והמלך המשפט". עד כאן לשון הגמ' ומובן מהמשך דברי הגמ' שאם טעה ולא אמר בעשי"ת 'המלך הקדוש' 'והמלך המשפט' מחזירין אותו (ראה רא"ש שם על דברי הגמ').
והביא בטור את דברי אחיו ה"ר יחיאל ז"ל שתמה על דברי גמ' אלו וז"ל (או"ח סי' קי"ח): ".. איני יודע מה הפרש יש בין מלך אוהב צדקה ומשפט ובין המלך המשפט לענין שצריך לחזור לראש אם שכח".
ביאור שאלתו: לכאורה איזה הבדל יש בין נוסח הברכה של כל השנה לברכה בעשי"ת הרי בשניהם מזכיר את מלכותו של הקב"ה ולמה יצטרך לחזור אם שכח בעשי"ת לאומרו כתיקונו.
וע"מ לתרץ על שאלה זו הביא את דברי ה'מחזור ויטרי' שגרסתו בגמ' "כל השנה אומר האל הקדוש האל המשפט".
ולפי גירסא זו אכן יש הבדל בין הברכה של כל השנה לברכה בעשי"ת שבכל השנה לא מזכיר 'מלך' ובעשי"ת שהם ימי דין והקב"ה יושב לדון את העולם מזכיר 'מלך' ומשום הכי אם לא אמר בעשי"ת ה'מלך המשפט' ואמר במקום ה'אל המשפט' חוזר.
ועפ"ז פסק הרמ"א (או"ח סי' קי"ח ס"א): "אם אמר (= בעשי"ת) 'מלך אוהב צדקה ומשפט' אין צריך לחזור ולא אמרו שיחזור אלא במקום שכל השנה אומרים 'האל אוהב צדקה ומשפט' וע"ל סי' תקפ"ב".
אלא שבטור בהלכות ראש השנה (סי' תקפ"ב) מביא את הגרסא הרגילה בגמ' שאם אמר בעשי"ת מלך אוהב צדקה ומשפט במקום המלך הקדוש חוזר. וא"כ נשאר לנו להבין לפי גרסא זו מה חילוק יש בין 'מלך אוהב צדקה ומשפט' ל'המלך המשפט' שלכן אם טעה חוזר.
והביא הט"ז (ס"ק ב') שני ביאורים:
א) "בכל השנה אין המשפט עיקר אלא הצדקה עיקר ולכך הקדימו צדקה למשפט. אבל מראש השנה עד יום הכפורים המשפט עיקר ולכך לא מזכיר צדקה".
ב) "יש חילוק בין הזמנים. דוגמא לדבר בית דין של מטה דיש לה יום מוגבל לישיבת בית דין שיושבים מעצמם אבל בשאר הימים אין יושבים אלא א"כ באים בני אדם ומבקשים שישבו וידונו ביניהם כך הוא בבית דין שלמעלה דבכל השנה אין יושבים לדין אלא א"כ מבקשים ממנו ית' מחמת שיש קטרוג של מדת הדין וע"ז אמר בכל השנה מלך אוהב צדקה ומשפט דהיינו שהוא אוהב המשפט ע"פ המעורר אותו לקיים משפט כרצון המעורר. משא"כ בראש השנה ויום כפור הוא ית' בעצמו הוא המשפט מצד עצמו וכמ"ש ברסי' זה בשם ב"י בשם הר"ר מנוח שהמלך המשפט היינו שהוא המשפט".
היינו הט"ז מביא לכך משל מבית דין שהדיינים החליטו על זמן מסויים שבזמן זה הם דנים את העם הנה כאשר רוצים העם בזמן אחר מהזמן שקבעו הדיינים להישפט אצלם צריך לבקש מהם על כך אותו הדבר גם בבית דין של מעלה בעשרת ימי תשובה זהו הזמן למשפט ומשום כך אומרים בעשי"ת המלך המשפט (וראה דברי רבינו מנוח שהביא הט"ז בריש הסימן זה).
משא"כ בכל השנה כולה כאשר רוצים להישפט (משום שיש קטרוג ח"ו) צריך לבקש מהקב"ה על כך ומשום זאת אומרים 'מלך אוהב' היינו שרוצה לעשות 'משפט' כשמבקשים ממנו.
ומשום הבדלים אלו כתב הטור וכן פסק המחבר בשו"ע (סי' תקפ"ב) שאם לא אמר המלך המשפט צריך לחזור.
ומסיים הט"ז כיון שיש לנו ספק מפני המחלוקת איך לנהוג – היינו מצד אחד שיטת הרמ"א שלנוסח דידן שאומרים כל השנה מלך אוהב צדקה ומשפט אין צריך לחזור ומנגד שיטת הטור והמחבר שצריך לחזור לכן טוב שיחזור ויתפלל שוב בתורת נדבה על הספק ואינו צריך לחדש דבר בתפילתו (כמו בתפילת נדבה רגילה) כי כשמתפלל על הספק אין לך חידוש גדול מזה כדפסקינן בסי' ק"ז.
וכן בשוע"ר (סי' תקפ"ב ס"ב) הביא את שני השיטות וכתב "ולענין הלכה ספק ברכות להקל ולפיכך אם נזכר קודם שסיים תפילתו אין צריך לחזור לברכת השיבה כדי שלא יברך ספק ברכה לבטלה אבל לאחר שעקר רגליו טוב שיתפלל עוד פעם בתורת נדבה ואינו צריך לחדש בה דבר כיון שמתפלל אותה מחמת הספק".
ומכל הנ"ל יוצא בנוגע לשאלתך כיון שנזכרת שלא אמרת המלך המשפט לאחר שסיימת את תפילת שמונה עשרה טוב שתחזור ותתפלל שוב בתורת נדבה (ואינך צריך לחדש דבר בתפילה זו).